ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN TỈNH TIỀN GIANG NĂM 2024-2025

Bài 1.      (4,0 điểm)

1. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+\left( 2m+3 \right)x+{{m}^{2}}+4m}{x+m}$ có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía đối với trục hoành.

2. Cho một tấm nhôm hình lục giác đều cạnh $60$ centimét. Người ta cắt ở mỗi đỉnh của tấm nhôm hai hình tam giác vuông bằng nhau (cắt phần tô đậm của tấm nhôm) rồi gập tấm nhôm để được một hình lăng trụ lục giác đều không có nắp (xem hình vẽ minh hoạ). Gọi cạnh nhỏ của tam giác vuông bị cắt là $x$ centimét, tìm $x$ (centimét) để thể tích của khối lăng trụ lục giác đều trên là lớn nhất.

   

                           

Bài 2.      (4,0 điểm)

1.  [HSG&VDC MĐ2] Giải phương trình: \[2\cos \left[ \frac{\pi }{6}\left( \sin x-13+\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right]=\sqrt{3}.\]

2. [HSG&VDC MĐ2] Giải phương trình: \[\left( x+1 \right)\left( {{4}^{x}}+2 \right)={{3.4}^{x}}.\]

Bài 3.      (3.0 điểm) [HSG&VDC MĐ3] Trong một hộp có chứa 8 tấm thẻ giống nhau, trên mỗi thẻ chỉ ghi một số thuộc tập$X=\left\{ 1;2;3;4;6;7;8;9 \right\}$. Rút ngẫu nhiên từ hộp trên 3 thẻ, tính xác suất của biến cố: “Rút được ba thẻ mà các số ghi trên thẻ đó là số đo ba cạnh của một tam giác tù”.

Bài 4.      (2.0 điểm)Cho dãy $({{u}_{n}})$ xác định bởi ${{u}_{1}}=\sqrt{2},\text{ }{{u}_{n+1}}=\frac{{{u}_{n}}+\sqrt{2}-1}{1-\left( \sqrt{2}-1 \right){{u}_{n}}},\forall n\in \mathbb{N}$. Tính ${{u}_{2025}}$.

Bài 5.      (3.0 điểm) [HSG&VDC MĐ3] 

1. Người ta cần trang trí cho một kim tự tháp là một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng 15 mét, $\widehat{A\,SB}={{15}^{0}}$bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS (xem hình vẽ minh hoạ), trong đó điểm L cố định và LS = 3 mét. Tính độ dài (mét) ngắn nhất của dây đèn led. 

2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, biết $AB=a\sqrt{2}$, $SB\bot (ABC)$. Gọi N là trung điểm của BC, Q là điểm thuộc đoạn thẳng SC sao cho $SC=3CQ$ và $\alpha $là góc giữa $SC$ với $\left( SAB \right)$ sao cho $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$. Tính khoảng cách từ điểm S đến $\left( ANQ \right)$ theo a.

Bài 6.      (4.0 điểm) [HSG&VDC MĐ3] 

1. Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm trong không gian. Sau một khoảng thời gian, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $5\,\text{km}$ về phía Đông và $3\,\text{km}$ về phía Nam, đồng thời cách mặt đất $0,8\,\text{km}$; chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $2\,\text{km}$ về phía Bắc và $1\,\text{km}$ về phía Tây, đồng thời cách mặt đất $0,5\,\text{km}$. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất và nhìn thấy hai khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Giả sử chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$với gốc toạ độ $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $(Oxy)$trùng với mặt đất, trục $Ox$hướng về phía Nam, trục $Oy$ hướng về phía Đông và trục $Oz$ hướng từ mặt đất lên trên, đơn vị đo trên các trục là kilômét. Tính tổng khoảng cách nhỏ nhất đó.

2. Ông X muốn xây dựng một toà nhà thật hoàng tráng cho một công ty. Kiến trúc sư thiết kế toà nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng 40 mét. Ông X yêu cầu kiến trúc sư xây dựng thêm một cây cầu $MN$ bắc qua toà nhà (điểm đầu thuộc cạnh $A'C$, điểm cuối thuộc cạnh $BC'$ của lăng trụ) để trang trí bằng những vật liệu quý hiếm với đơn giá 1,5 tỷ đồng trên 1 mét chiều dài. Để giảm chi phí cho cây cầu, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho $MN$ngắn nhất. Tính số tiền xây cây cầu đó.

-----------Hết----------